Fisica 2 – Due fili paralleli giacenti su un piano alfa – Problema

Testo del problema
Due fili paralleli, giacenti su un piano $$\alpha\$$, sono percorsi nello stesso verso da una corrente di intensità 20,0 A. Sapendo che i due fili distano fra loro 10,0 cm, calcola l’intensità del campo magnetico in un punto P equidistante dai due fili e situato a un’al-tezza h = 8,66 cm rispetto al piano $$\alpha\$$ dei fili. Calcola inoltre l’intensità della forza per unità di lunghezza con cui interagiscono i fili.

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Risoluzione proposta
Immaginiamo di poter vedere il sistema frontalmente, per comodità. Avremmo una visuale del genere:

problema di fisica

Ricaviamoci  immediatamente la distanza $$D\$$ con il teorema di Pitagora: essa sarà il raggio delle circonferenze dei campi magnetici dei fili che è uguale nei due campi proprio perché il punto $$P\$$ si trova proprio nella metà della distanza tra i due fili. Dunque avremo che

$$D=\sqrt{h^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2}=\sqrt{8,66^2+5^2}\approx10cm\$$

Quindi entrambe le distanze dei fili dal punto $$P\$$ sono le medesime

Ora passiamo a rappresentare i vettori. Le due circonferenze del campo magnetico dei due fili passeranno per il punto $$P\$$. Dunque nel punto $$P\$$ i vettori dei campi $$\vec{B}_1\$$ e $$\vec{B}_2\$$ sono rispettivamente tangenti ai campi dei fili $$i_1\$$ e $$i_2\$$ e avendo  questi campi verso entrante, i vettori dei campi magnetici percorreranno le circonferenze in senso orario (secondo la regola della mano destra per il campo), come si può vedere in figura:

problema di fisica2

Avendo tutti i dati necessari possiamo quindi ricavare i moduli dei vettori $$|B_1|$$ e $$|B_2|$$ utilizzando la legge di Biot-Savart. Dato che $$i_1=i_2\$$ e $$D\$$ come già dimostrato è uguale a entrambi i fili i moduli dei campi magnetici saranno uguali. In formule:

$$|B_1|=|B_2|=\frac{\mu_0 i}{2\pi D}= 4 \times 10^{-5} T\$$

A questo punto il campo magnetico in $$P\$$ sarà dato dalla somma vettoriale dei campi:

$$\vec{B_P}=\vec{B_1}+\vec{B_2}\$$

Quindi a questo punto bisogna trovare le componenti dei vettori $$\vec{B}_1\$$ e $$\vec{B}_2\$$ al fine di poterle sommare vettorialmente e giungere così a risolvere il primo punto del problema.
Attraverso lo studio del disegno e quindi degli angoli siamo in grado di ricavare l’angolo $$\gamma\$$ compreso tra $$\vec{B}_1\$$ e la normale.

Quindi si può scrivere:

$$\tan\beta = \frac{h}{\frac{d}{2}} = \frac{8,66}{5} \approx60^{\circ}\$$

Quindi di conseguenza $$\gamma=30^{\circ}\$$.

Ora, gli angoli $$\beta\$$ sono alterni esterni e in $$P\$$ esso è complementare a uno stesso angolo, l’angolo $$\gamma\$$. Ma è anche vero che $$\beta+2 \gamma = 90^{\circ}\$$ quindi anche $$\vec{B_1}\$$ formerà un angolo di $$30^{\circ}\$$ con la normale; ciò ci permette di stabilire le componenti dei due vettori. Essi avranno componenti uguali sia sull’asse y che sull’asse x perché hanno moduli e angoli di inclinazione uguali. Tuttavia mentre sull’asse y la somma vettoriale sarà nulla sull’asse x sarà la somma delle due componenti orizzontali, appunto uguali tra loro:

$$|B_{1,2x}|=|B_{1,2}| \cos{30}= 4 \times 10^{-5} \cos{30} = 3,464 \times 10^{-5} T\$$

$$|B_P|= 2 |B_{1,2x}| = 2 \times 3,464 \times 10^{-5} = 6,928 \times 10^{-5} T\$$

Per quanto riguarda la forza su unità di lunghezza, essa può essere interpretata come un $$\frac{F}{l}\$$ che può essere ricavato facilmente dalla Legge di Ampere che permette di trovare appunto la forza magnetica che agisce tra due fili:

$$F=\frac{\mu_0 i_1 i_2 l}{2 \pi d}\$$

dividendo per $$l\$$ e avendo $$i_1 = i_2\$$ avremo:

$$\frac{F}{l}=\frac{\mu_0 i^2}{2 \pi d}=\frac{\mu _0 400}{2 \pi 0,1 m}=8 \times 10^{-4} N/m \$$

c. v. d.